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设a、b为常数,M={f(x)|f(x)=acosx+bsinx,x∈R};F:把平面上任意一点(a,b)映射为函数acosx+bsinx.(1)证明:对F不存在两个不同点对应于同一个函数;(2)证明:当f0(x)∈M时,f1(x)=f0(x+t)∈M,这里t为常数;(3)对于属于M的一个固定值f0(x),得M1={f0(x+t)|t∈R},若映射F的作用下点(m,n)的象属于M1,问:由所有符合条件的点(m,n)构成的图形是什么?试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设a、b为常数,M={f(x)|f(x)=acosx+bsinx,x∈R};F:把平面上任意一点(a,b)映射为函数acosx+bsinx.
(1)证明:对F不存在两个不同点对应于同一个函数;
(2)证明:当f
0
(x)∈M时,f
1
(x)=f
0
(x+t)∈M,这里t为常数;
(3)对于属于M的一个固定值f
0
(x),得M
1
={f
0
(x+t)|t∈R},若映射F的作用下点(m,n)的象属于M
1
,问:由所有符合条件的点(m,n)构成的图形是什么?
试题解答
见解析
解:(1)证明:假设有两个不同的点(a,b),(c,d)对应同一函数,
即F(a,b)=acosx+bsinx与F(c,d)=ccosx+dsinx相同,
即acosx+bsinx=ccosx+dsinx对一切实数x均成立.
特别令x=0,得a=c;
令x=
π
2
,得b=d.
这与(a,b),(c,d)是两个不同点矛盾,
假设不成立.
故不存在两个不同点对应同函数.
(2)当f
0
(x)∈M时,
可得常数aa
0
,b
0
,使f
0
(x)=a
0
cosx+b
0
sinx,
f
1
(x)=f
0
(x+t)=a
0
cos(x+t)+b
0
sin(x+t)
=(a
0
cost+b
0
sint)+(b
0
cost-a
0
sint)sinx.
由于a
0
,b
0
,t为常数,
设a
0
cost+b
0
sint=m,b
0
cost-a
0
sint=n,
则m,n是常数.
从而f
1
(x)=f
0
(x+t)∈M.
(3)设f
0
(x)∈M,
由此得f
0
(x+t)=mcosx+nsinx,
(其中m=a
0
cost+b
0
sint,n=b
0
cost-a
0
sint)
在映射F下,f
0
(x+t)的原象是(m,n),
则M
1
的原象是
{(m,n)|m=a
0
cost+b
0
sint,n=b
0
cost-a
0
sint,t∈R},
消去t得m
2
+n
2
=a
0
2
+b
0
2
,
即在映射F下,M
1
的原象{(m,n)|m
2
+n
2
=a
0
2
+b
0
2
}是以原点为圆心,
√
a
0
2
+
b
0
2
为半径的圆.
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Venn图表达集合的关系及运算;并集及其运算;补集及其运算;集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;集合关系中的参数取值问题;集合中元素个数的最值;交、并、补集的混合运算;交集及其运算;空集的定义、性质及运算;全集及其运算;元素与集合关系的判断;子集与真子集;方根与根式及根式的化简运算;分数指数幂;根式与分数指数幂的互化及其化简运算;有理数指数幂的化简求值;有理数指数幂的运算性质;正整数指数函数;指数函数的单调性的应用;指数函数的单调性与特殊点;指数函数的定义、解析式、定义域和值域;指数函数的实际应用;指数函数的图像变换;指数函数的图像与性质;指数函数综合题;指数型复合函数的性质及应用;二分法的定义;二分法求方程的近似解;根的存在性及根的个数判断;函数的零点;函数的零点与方程根的关系;函数零点的判定定理;函数与方程的综合运用
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