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  • （2010?南京二模）如图，现在要在一块半径为1m．圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=θ．平行四边形MNPQ的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）求S的最大值及相应θ的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （2010?南京二模）如图，现在要在一块半径为1m．圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=θ．平行四边形MNPQ的面积为S．
      （1）求S关于θ的函数关系式；
      （2）求S的最大值及相应θ的值．

      试题解答

      见解析
      解：①分别过点P、Q作PD⊥OB，QE⊥OB，垂足分别为D、E，则四边形QEDP是矩形．
      PD=sinθ，OD=cosθ．
      在Rt△OEQ中，∠AOB=
      π
      3
      ，
      则OE=
      √3
      3
      QE=
      √3
      3
      PD．
      所以MN=PQ=DE=OD-OE=cosθ-
      √3
      3
      sinθ．
      则S=MN×PD=（cosθ-
      √3
      3
      sinθ）×sinθ=sinθcosθ-
      √3
      3
      sin2θ，θ∈（0，
      π
      3
      ）．
      （2）S=
      1
      2
      sin2θ-
      √3
      6
      （1-cos2θ）=
      1
      2
      sin2θ+
      √3
      6
      cos2θ-
      √3
      6
      =
      √3
      3
      sin（2θ+
      π
      6
      ）-
      √3
      6
      ．
      因为0＜θ＜
      π
      3
      ，所以
      π
      6
      ＜2θ+
      π
      6
      ＜
      5π
      6
      ，
      所以
      1
      2
      ＜sin（2θ+
      π
      6
      ）≤1．所以当2θ+
      π
      6
      =
      π
      2
      ，即θ=
      π
      6
      时，S的值最大为
      √3
      6
      m2．
      即S的最大值是
      √3
      6
      m2，相应θ的值是
      π
      6
      ．
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