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  • 如图，???正四棱台内，以小底为底面．大底面中心为顶点作一内接棱锥．已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，???正四棱台内，以小底为底面．大底面中心为顶点作一内接棱锥．已知棱台小底面边长为b，大底面边长为a，并且棱台的侧面积与内接棱锥的侧面面积相等，求这个棱锥的高，并指出有解的条件．

      试题解答

      见解析
      解：如图，过高OO1和AD的中点E作棱锥和棱台的截面，得棱台的斜高EE1和棱锥的斜高为EO1，设OO1=h，∴S锥侧=
      1
      2
      ?4b?EO1=2bEO1
      S台侧=
      1
      2
      (4a+4b)?EE1=2(a+b)?EE1， ∴2bEO1=2(a+b) EE1 ①
      ∵OO      1E1E是直角梯形，其中OE=
      b
      2
      ，O1E1=
      a
      2

      ∴根据勾股定理得，E      E12=h2+(
      a
      2
      -
      b
      2
      )2，EO12=h2+(
      b
      2
      )2 ②
      ①式两边平方，把②代入得：      b2(h2+
      b2
      4
      )=(a+b)2[h2+(
      a
      2
      -
      b
      2
      )2]
      解得      h2=
      a2(2b2-a2)
      4a(a+2b)
      ，即h=
      1
      2
      √
      a(2b2-a2)
      a+2b

      显然，由于a＞0，b＞0，所以此题当且仅当a＜
      √2
      b时才有解．
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      必修2人教A版解答题高中数学

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