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  • （2007?天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2007?天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
      （Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；
      （Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；
      （Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）解：在四棱锥P-ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，故PA⊥AB．
      又AB⊥AD，PA∩AD=A，从而AB⊥平面PAD．故PB在平面PAD内的射影为PA，
      从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB=PA，故∠APB=45°．
      所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．

      （Ⅱ）证明：在四棱锥P-ABCD中，
      因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故CD⊥PA．
      由条件CD⊥PA，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC．
      又AE?面PAC，∴AE⊥CD．
      由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
      ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，∴PC∩CD=C．综上得AE⊥平面PCD．

      （Ⅲ）解：过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM．
      由（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD．
      因此∠AME是二面角A-PD-C的平面角．
      由已知，可得∠CAD=30°．设AC=a，可得PA=a，AD=
      2
      √3
      3
      a，PD=
      √21
      3
      a，AE=
      √2
      2
      a．
      在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM?PD=PA?AD，则AM=
      PA?AD
      PD
      =
      a?
      2
      √3
      3
      a
      √21
      3
      a
      2
      √7
      7
      a．
      在Rt△AEM中，sinAME=
      AE
      AM
      =
      √14
      4
      ．
      所以二面角A-PD-C的大小arcsin
      √14
      4
      ．
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      必修2人教A版解答题高中数学

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