在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=√2a，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F．（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；（2）设SB的中点为M，当CDAB的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=

√2

a，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F．
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）设SB的中点为M，当

的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明．

见解析

解：（1）∵CD∥AB，AB?平面SAB，
∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF．
∵∠D=90°，
∴CD⊥AD，
又SD⊥面ABCD，
∴SD⊥CD，
∴CD⊥平面SAD，
∴CD⊥ED又EF＜AB＜CD，
∴EFCD为直角梯形．
（2）当

=2时，能使DM⊥MC．
∵AB=a，
∴CD=2a，BD=

√AB²+AD²

√2

a，∠BDC=45⁰，
∴BC=

√2

a，BC⊥BD，
∴SD⊥平面ABCD，
∴SD⊥BC，
∴BC⊥平面SBD．
在△SBD中，SD=DB，M为SB中点，
∴MD⊥SB．
∴MD⊥平面SBC，MC?平面SBC，
∴MD⊥MC，
∴△DMC为直角三角形．

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