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  • 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面???边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO为四棱锥P-ABCD的高，且PO=√3，E、F分别是BC、AP的中点．（1）求证：EF∥平面PCD；（2）求三棱锥F-PCD的体积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在四棱锥P-ABCD中，底面???边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO为四棱锥P-ABCD的高，且PO=
      √3
      ，E、F分别是BC、AP的中点．
      （1）求证：EF∥平面PCD；
      （2）求三棱锥F-PCD的体积．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：取PD的中点G，连接FG，CG，
      ∵FG为△PAD的中位线，
      ∴FG∥AD且，FG=
      1
      2
      AD
      在菱形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
      又∵E为BC的中点，∴CE∥AD，且CE=
      1
      2
      AD
      ∴CE∥FG且，CE=FG
      ∴四边形EFCG为平行四边形，∴EF∥CG，
      又∵EF?平面PCD，CG?平面PCD
      ∴EF∥平面PCD；
      （2）解：取OA中点N，连接FN
      ∵F为PA的中点，故FN∥PO，
      ∵OP⊥底面ABCD，∴FN⊥底面ABCD，
      在△PAO中，FN=
      1
      2
      PO=
      √3
      2
      ，
      ∵底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
      ∴AC⊥BD，且DO=1，AC=2
      √3
      ，
      由几何体得，V      F-PCD=VA-PCD-VA-FCD
      =V      P-ACD-VF-ACD
      =
      1
      3
      ?S△ACD?PO-
      1
      3
      ?S△ACD?FN
      =
      1
      3
      ?S△ACD(PO-FN)=
      1
      3
      ×
      1
      2
      ×2
      √3
      ×1×
      √3
      2

      =
      1
      2
      ．
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