试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 如图，已知点P是边长为1的正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，点E为PD中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求异面直线PB与AC所成的角的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，已知点P是边长为1的正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，点E为PD中点．
      （1）求证：PB∥平面EAC；
      （2）求异面直线PB与AC所成的角的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：连结BD交AC于O点，连结EO，
      因为点E为PD中点，点O为BD中点，故OE是三角形PBD的中位线．
      所以EO∥PB，又PB不在平面ACE上，
      EO在平面ACE内，所以PB∥平面ACE． …（6分）
      （2）解：设PA=x，则PB=PD=
      √x2+1
      ，
      在Rt△PAD中，AE是其中线，AE=
      1
      2
      PD=
      √x2+1
      2
      ，
      在△PBD中，OE是其中位线，OE=
      1
      2
      PB=
      √x2+1
      2
      ，
      所以△AEO为等腰三角形，且∠EAO=∠EOA．…（8分）
      ∵EO∥PB，则∠EOA即为异面直线PB与AC所成的角．…（10分）
      取OA的中点M，则EM⊥AO，在Rt△EMO中，
      cos∠EOA=
      OM
      OE
      =
      √2
      4
      √x2+1
      2
      =
      1
      √2
      ?
      √x2+1
      ，（x＞0）．
      ∵x      2+1＞1，∴cos∠EOA＜
      √2
      2
      ，
      π
      4
      ＜∠EOA＜
      π
      2
      ，
      所以异面直线PB与AC所成的角的取值范围是(
      π
      4
      ，
      π
      2
      )．…（12分）
      标签
      必修2人教A版解答题高中数学

    平面的基本性质及推论相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn