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  • 如图，正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，点M，N分别在PA，BD上，且PMPA=BNBD=13．（Ⅰ）求异面直线MN与AD所成角；（Ⅱ）求证：MN∥平面PBC；（Ⅲ）求MN与平面PAB所成角的正弦值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，正四棱锥P-ABCD中，PA=AB，点M，N分别在PA，BD上，且
      PM
      PA
      =
      BN
      BD
      =
      1
      3
      ．
      （Ⅰ）求异面直线MN与AD所成角；
      （Ⅱ）求证：MN∥平面PBC；
      （Ⅲ）求MN与平面PAB所成角的正弦值．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，
      DA
      ，
      AB
      方向分别是x轴、y轴正方向，
      建立空间直角坐标系O-xyz．
      则A（1，-1，0），B（1，1，0），C（-1，1，0），D???-1，-1，0），…（2分）
      设P（0，0，p），则
      AP
      =（-1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p=
      √2
      ，
      ∵
      OM
      =
      OA
      +
      AM
      =
      OA
      +
      2
      3
      AP
      =（
      1
      3
      ，-
      1
      3
      ，
      2
      √2
      3
      ），
      ON
      =
      1
      3
      OB
      =（
      1
      3
      ，
      1
      3
      ，0），
      ∴
      AN
      =（0，
      2
      3
      ，-
      2
      √2
      3
      ），
      AD
      =（-2，0，0），
      ∵
      MN
      ?
      AD
      =0，∴异面直线MN与AD所成角为90°．…（8分）
      （Ⅱ）∵
      BP
      =（-1，-1，
      √2
      ），
      设平面PBC的法向量为
      n
      =（a，b，c），∵
      n
      ?
      BP
      =0，
      n
      ?
      BC
      =0，则
      {
      -a-b+
      √2
      c=0
      a=0
      ，…（10分）
      取
      n
      =（0
      √2
      1）=，∵
      n
      ?
      MN
      ，∴MN∥平面PBC． …（14分）
      （Ⅲ）设平面PAB的法向量为
      n
      =（x，y，z），
      AP
      =（-1，1，
      √2
      ）
      AB
      =（0，2，0）
      由
      AP
      ⊥
      n
      AB
      ⊥
      n
      ，
      ∴
      AP
      ?
      n
      =0
      n
      ?
      AB
      =0 则
      {
      -x+y-
      √2
      z=0
      2y=0
      ，…（16分）
      取
      n
      =（
      √2
      ，0，1），cos＜
      MN
      n
      ＞=
      -
      2
      √2
      3
      √3
      ?
      √
      4
      3
      =-
      √2
      3
      ，
      ∴MN与平面PAB所成角的正弦值是
      2
      3
      ．…（20分）
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