三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．（Ⅰ）求证：平面GFE∥平面PCB；（Ⅱ）求GB与平面ABC所成角的正切值；（Ⅲ???求二面角A-PB-C的大小．试题及答案-解答题-云返教育

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三棱锥P-ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．
（Ⅰ）求证：平面GFE∥平面PCB；
（Ⅱ）求GB与平面ABC所成角的正切值；
（Ⅲ???求二面角A-PB-C的大小．

见解析

（Ⅰ）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、PA的中点，
EF∥BC，GF∥PC（1分）
且EF、GF?平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．

又EF∩GF=F，
所以平面GFE∥平面PCB．（4分）
（Ⅱ）【解析】

连接BF，因为GF∥PC，PC⊥平面ABC，
所以GF⊥平面ABC，BF为斜线BG在平面ABC上的射影，则∠GBF为所求．（6分）
GF=

PC=

，
在直角三角形BCF中，可求得BF=

．
在直角三角形GBF中

．
即BG与平面ABC所成角的正切值是

．（8分）

（Ⅲ）【解析】
设PB的中点为H，连接HC，AH，

因为△PBC为等腰直角三角形，
所以HC⊥PB．
又AC⊥BC，AC⊥PC，且BC∩PC=C，
所以AC⊥平面PCB．
由三垂线定理得AH⊥PB．
所以∠AHC为二面角A-PB-C的平面角．（11分）
因为AC=2，HC=

，
所以tan∠AHC=

．
所以∠AHC=arctan2

．
即二面角A-PB-C的大小是arctan2

．（13分）

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