如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD．（1）求证：平面PAB⊥平面PAD（2）求二面角A-PD-B的大小；（3）设AB=1，求点D到平面PBC的距离．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥底面ABCD．
（1）求证：平面PAB⊥平面PAD
（2）求二面角A-PD-B的大小；
（3）设AB=1，求点D到平面PBC的距离．

见解析

（1）证明：

?AB⊥平面PAD（3分）
又AB?平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAD（4分）
（2）【解析】
取PD的中点E，连接AE，BE
∴AB⊥平面PAD
∴AE是BE在平面PAD上的射影，
∵△PAD是正三角形，
∴AE⊥PD，

由三垂线定理得BE⊥PD
∠AEB是二面角A-PD-B的平面角（7分）
在Rt△BAE中，∵

∴二面角A-PD-B的大小为

（10分）
（3）【解析】
取AD的中点F，连接AF，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且PF⊥AD，
∴PF⊥平面BCD
设点D到平面PBC的距离为h，
∵

∴S_△PBC?h=S_△BCD?PF
在△PBC中，易知PB=PC=

，∴

又

，∴

即点D到平面PBC的距离为

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