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设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12.(Ⅰ)求a,b,c的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
设函数f(x)=ax
3
+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,导函数f'(x)的最小值为-12.
(Ⅰ)求a,b,c的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值.
试题解答
见解析
(Ⅰ)∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x)
即-ax
3
-bx+c=-ax
3
-bx-c
∴c=0
∵f'(x)=3ax
2
+b的最小值为-12
∴b=-12
又直线x-6y-7=0的斜率为
因此,f'(1)=3a+b=-6
∴a=2,b=-12,c=0.
(Ⅱ)f(x)=2x
3
-12x.
,列表如下:
所以函数f(x)的单调增区间是
和
∵f(-1)=10,
,f(3)=18
∴f(x)在[-1,3]上的最大值是f(3)=18,最小值是
.
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