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已知圆C的圆心在直线y=2x上，且与直线l：x+y+1=0相切于点P（-1，0）．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若A（1，0），点B是圆C上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知圆C的圆心在直线y=2x上，且与直线l：x+y+1=0相切于点P（-1，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若A（1，0），点B是圆C上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）设圆心C（a，b）半径为r，则有b=2a，…（1分）
又∵C落在过P且垂直于l的直线y=x+1上，…（3分）
∴b=a+1，解得a=1，b=2，从而r=2

√2

…（5分）
∴圆C方程为：（x-1）²+（y-2）²=8…（6分）
（Ⅱ）设M（x，y），B（x₀，y₀），则有

1+x₀

2

=x，

y₀

2

=y，…（8分）
解得x₀=2x-1，y₀=2y，代入圆C方程得：（2x-2）²+（2y-2）²=8，…（10分）
化简得（x-1）²+（y-1）²=2…（11分）
表示以（1，1）为圆心，

√2

为半径的圆．…（12分）

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