设函数f(x)=lnx-12ax2-bx．（I）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围；（II）当a=0，b=-1时，方程2mf（x）=x2中唯一实数解，求正数m的值．试题及答案-解答题-云返教育

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设函数f(x)=lnx-

ax²-bx．
（I）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围；
（II）当a=0，b=-1时，方程2mf（x）=x²中唯一实数解，求正数m的值．

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见解析

解：（Ⅰ）∵f(x)=lnx-

ax²-bx，
∴x＞0，f^′(x)=

-ax-b，
由f′（x）=0，得b=1-a，
∴f^′(x)=

-ax+a-1=

-(ax+1)(x-1)

．
①若a≥0，由f′（x）=0，得x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，所以x=1是f（x）的极大值点．
②若a＜0，则f′（x）=0，得x=1，或x=-

，
∵x=1是f（x）的极大值点，
∴-

＞1，解得-1＜a＜0．
综合①②，得a的取值范围是a＞-1．
（Ⅱ）∵方程2mf（x）=x²中唯一实数解，
∴x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，
则g^′(x)=

2x²-2mx-2m

，
令g′（x）=0，???x²-mx-m=0．
∵m＞0，∴△=m²+4m＞0，
方程有两异号根，设为x₁0，
∵x＞0，∴x₁应舍去．
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上单调递增，
当x=x₂时，g′（x₂）=0，g（x）取最小值g（x₂）．
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0，
则

{	g(x₂)=0 g^′(x₂)=0

，即

{	x₂²-2mlnx₂-2mx₂=0 x₂ ²-mx₂-m=0

，
∴2mlnx₂+mx₂-m=0，
∵m＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0（*），
设函数h（x）=2lnx+x-1，
∵当x＞0时，h（x）是增函数，
∴h（x）=0至多有一解，
∵h（1）=0，
∴方程（*）的解为x₂=1，
代入方程组解得m=

．

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选修2-2 北师大版解答题高中数学

设函数f(x)=lnx-12ax2-bx．（I）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围；（II）当a=0，b=-1时，方程2mf（x）=x2中唯一实数解，求正数m的值．试题及答案-解答题-云返教育

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