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已知函数f（x）=12x2+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函数．（1）求实数a的取值范围；（2）设g（x）=e2x-2ex+a x∈[0，ln3]，求函数g（x）的最小值．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=

1

2

x²+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=e^2x-2e^x+a x∈[0，ln3]，求函数g（x）的最小值．

试题解答

见解析

解：（1）求导函数，可得f′(x)=x+

1

x

+a-4
∵函数f（x）=

1

2

x²+lnx+（a-4）x 在（1，+∞）上是增函数
∴x+

1

x

+a-4≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≥4-(x+

1

x

)恒成立
∵x+

1

x

≥2（当且仅当x=1时，等号成立）
∴4-(x+

1

x

)＜2
∴a≥2
（2）设t=e^x，则g（t）=t²-2a+a=（t-a）²+a-a²，
∵x∈[0，ln3]，∴1≤t≤3
①当2≤a≤3时，g（t）最小值为a-a²；
②当a≥3时，g（t）最小值为9-5a．

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选修2-2 北师大版解答题高中数学

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