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  • 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=CD=4，BC=5，∠B的平分线交DC于点E，交AD的延长线于点F．（1）如图（1），若∠C的平分线交BE于点G，写出图中所有的相似三角形（不必证明）；（2）在（1）的条件下求BG的长；（3）若点P为BE上动点，以点P为圆心，BP为半径的⊙P与线段BC交于点Q（如图（2）），请直接写出当BP取什么范围内值时，①点A在⊙P内；②点A在⊙P内而点E在⊙P外．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=CD=4，BC=5，∠B的平分线交DC于点E，交AD的延长线于点F．
      （1）如图（1），若∠C的平分线交BE于点G，写出图中所有的相似三角形（不必证明）；
      （2）在（1）的条件下求BG的长；
      （3）若点P为BE上动点，以点P为圆心，BP为半径的⊙P与线段BC交于点Q（如图（2）），请直接写出当BP取什么范围内值时，①点A在⊙P内；②点A在⊙P内而点E在⊙P外．

      试题解答

      见解析
      解：（1）△ABF∽△GBC，△FDE∽△CGE∽△BCE．

      （2）∵BE平分∠B，
      ∴∠ABE=∠EBC，
      ∵AD∥BC，
      ∴∠AFB=∠EBC，
      ∴∠ABE=∠AFB，
      ∴AB=AF．
      ∴AF=4，DF=1．
      ∵AD∥BC，
      ∴DF：BC=DE：EC，
      ∴DE=
      2
      3
      ，CE=
      10
      3
      ．
      ∵AD∥BC，AB=CD，
      ∴∠BCD=∠ABC．
      ∵CG平分∠BCD，BE平分∠ABC，
      ∴∠CBG=∠BCG，
      ∴BG=CG．
      设BG=CG=x，则由△FDE∽△CGE，得
      DF：CG=DE：GE，
      ∴GE=
      2
      3
      x．
      又由△CGE∽△BCE，得
      EC      2=EG?EB，
      即(
      10
      3
      )2=
      2
      3
      x?（x+
      2
      3
      x），
      ∴x=
      √10
      ，
      即BG=
      √10
      ．

      （3）①连接AP，当BP=AP时，点A在圆P上，此时△ABP∽△ABF，求得BP=
      4
      5
      √10
      ，
      即BP＞AP时，点A在⊙P内．
      ∴当
      4
      5
      √10
      ＜BP≤
      √10
      时，点A在⊙P内．
      ②根据①求得BE=
      5
      3
      √10
      ，
      ∴BP＜
      1
      2
      BE，即BP＜
      5
      6
      √10
      时，点A在⊙P内而点E在⊙P外
      ∴当
      4
      5
      √10
      ＜BP＜
      5
      6
      √10
      时，点A在⊙P内而点E在⊙P外．
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