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  • 如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．
      （1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）
      （2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；
      （3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）如图，∵△ABC是等边三角形，
      ∴∠B=∠A=∠C=60°．
      又∵EF∥AC，
      ∴∠BFE=∠A=60°，∠BEF=∠C=60°，
      ∴△BFE是等边三角形，PE=EB，
      ∴EF=BE=PE=BF；

      （2）当点E是BC的中点时，四边形是菱形；
      ∵E是BC的中点，
      ∴EC=BE，
      ∵PE=BE，
      ∴PE=EC，
      ∵∠C=60°，
      ∴△PEC是等边三角形，
      ∴PC=EC=PE，
      ∵EF=BE，
      ∴EF=PC，
      又∵EF∥CP，
      ∴四边形EFPC是平行四边形，
      ∵EC=PC=EF，
      ∴平行四边形EFPC是菱形；

      （3）如图所示：
      当点E是BC的中点时，EC=1，则NE=ECcos30°=
      √3
      2
      ，
      当0＜r＜
      √3
      2
      时，有两个交点；
      当r=
      √3
      2
      时，有四个交点；
      当
      √3
      2
      ＜r＜1时，有六个交点；
      当r=1时，有三个交点；
      当r＞1时，有0个交点．
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