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  • 在三角形ABC中，CD⊥AB，CD=3，AD=3√3，BD=√3．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）用圆规和直尺作出以AB为直径的圆O（保留作图痕迹），判断C点和圆O的位置关系，并说明理由；（3）若E为直径AB上的一动点，连接CE交⊙O于F点，当△CBF为等腰三角形时，求AE的长．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      在三角形ABC中，CD⊥AB，CD=3，AD=3
      √3
      ，BD=
      √3
      ．
      （1）求证：△ACD∽△CBD；
      （2）用圆规和直尺作出以AB为直径的圆O（保留作图痕迹），判断C点和圆O的位置关系，并说明理由；
      （3）若E为直径AB上的一动点，连接CE交⊙O于F点，当△CBF为等腰三角形时，求AE的长．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵CD⊥AB，CD=3，AD=3
      √3
      ，BD=
      √3
      ，
      ∴
      AD
      CD
      =
      √3
      ，
      BD
      CD
      =
      √3
      3
      ，
      ∴∠A=30°，∠ACD=60°，∠DCB=30°∠B=60°，
      ∴∠ACB=90°，
      ∵∠B=∠B，
      ∴△ACB∽△CBD．

      （2）如图1，为所作图形，C点在⊙O上，
      ∵AB为⊙O的直径，
      ∴O点为AB的中点，
      ∴OA=OB，
      ∴∠ACB=90°，
      ∵OC=OA=OB，
      ∴C点在⊙O上．

      （3）①如图2，若BC=BF，
      ∵△CBF为等腰三角形，
      ∴BC=BF，
      ∴      ⌒BC=⌒BF，
      ∵直径AB，
      ∴      ⌒AC=⌒AF，
      ∴∠CBA=∠FBA，
      ∴BE平分顶角∠CBF，
      ∴BE⊥CF，
      ∵CD⊥AB，AD=3
      √3
      ，
      ∴点E与点D重合，
      ∴AE=AD=3
      √3
      ，
      ②如图3，若FB=FC，连接OF，OC，
      ∵AD=3
      √3
      ，BD=
      √3
      ，
      ∴AB=4
      √3
      ，
      ∴OA=OF=2
      √3
      ，
      ∵∠CAB=30°，CD=3，CD⊥AB，
      ∴AC=6，
      ∵∠A=∠CFB，∠AEC=∠EFB，
      ∴∠ACE=∠FBE，
      ∵等腰三角形CFB，
      ∴CF=BF，
      ∴在△CFO和△BFO中，
      {
      OF=OF
      CF=BF
      OC=OB
      ，
      ∴△CFO和△BFO（SSS），
      ∴∠FBO=∠FCO，
      ∴∠ACE=∠FCO，
      ∵OC=OF，
      ∴∠FCO=∠OFC，
      ∴∠ACE=∠OFC，
      ∴OF∥AC，
      ∴AE：OE=AC：OF，
      ∵AC=6，OF=2
      √3
      ，OA=2
      √3
      ，
      ∴AE=3
      √3
      -3．
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