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已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），求证：（1）对角线AC、BD是异面直线；（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），求证：
（1）对角线AC、BD是异面直线；
（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．

试题解答

见解析

证明：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，
则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，
∴AC、BD是异面直线．
（2）∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH

∥

1

2

BD．
又F、G分别是BC、DC的三等分点，
∴FG

∥

2

3

BD．∴EH∥FG，且EH＜FG．
∴FE与GH相交．
设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．
同理，O在平面ABC内．
从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上．

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必修2 人教A版解答题高中数学

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