如图，在组合体中，ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AB=2，BC=3，点P∈平面CC1D1D且PD=PC=√2．（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；（Ⅱ）若AA1=a，当a为何值时，PC∥平面AB1D．试题及答案-解答题-云返教育

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如图，在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AB=2，BC=3，点P∈平面CC₁D₁D且PD=PC=

√2

．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AA₁=a，当a为何值时，PC∥平面AB₁D．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）证明：因为PD=PC=

√2

，CD=AB=2，所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．（1分）
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，所以BC⊥面CC₁D₁D，而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，所以BC⊥PD．（3分）
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．（6分）

（Ⅱ）当a=2时，PC∥平面AB₁D．（9分）
当a=2时，四边形CC₁D₁D是一个正方形，所以∠C₁DC=45°，而∠PDC=45°，所以∠PDC₁=90⁰，所以C₁D⊥PD．（12分）
而PC⊥PD，C₁D与PC在同一个平面内，所以PC∥C₁D．（13分）
而C₁D?面AB₁C₁D，所以PC∥面AB₁C₁D，所以PC∥平面AB₁D．（14分）

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必修2 人教A版解答题高中数学

如图，在组合体中，ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AB=2，BC=3，点P∈平面CC1D1D且PD=PC=√2．（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；（Ⅱ）若AA1=a，当a为何值时，PC∥平面AB1D．试题及答案-解答题-云返教育

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