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  • 如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1（Ⅰ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算的值；（Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．试题及答案-解答题-云返教育

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      如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1
      （Ⅰ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算      的值；
      （Ⅱ）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

      试题解答

      见解析
      法一：
      （Ⅰ）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC．
      又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC
      ∵NC?平面ONC，
      ∴OA⊥NC．
      取Q为AN的中点，则PQ∥NC．
      ∴PQ⊥OA
      在等腰△AOB中，∠AOB=120°，
      ∴∠OAB=∠OBA=30°
      在Rt△AON中，∠OAN=30°，
      ∴
      在△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO，
      ∴NB=ON=AQ．
      ∴

      【解析】
      （Ⅱ）连接PN，PO，
      由OC⊥OA，OC⊥OB知：OC⊥平面OAB．
      又ON?OAB，
      ∴OC⊥ON
      又由ON⊥OA，ON⊥平面AOC．
      ∴OP是NP在平面AOC内的射影．
      在等腰Rt???COA中，P为AC的中点，
      ∴AC⊥OP
      根据三垂线定理，知：
      ∴AC⊥NP
      ∴∠OPN为二面角O-AC-B的平面角
      在等腰Rt△COA中，OC=OA=1，∴
      在Rt△AON中，      ，
      ∴在Rt△PON中，      ．
      ∴
      解法二：
      （I）取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，
      建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）
      则
      ∵P为AC中点，∴
      设      ，∵．
      ∴      ，
      ∴      ．
      ∵      ，
      ∴      即，．
      所以存在点      使得PQ⊥OA且．
      （Ⅱ）记平面ABC的法向量为      =（n1，n2，n3），则由，，且，
      得      ，故可取
      又平面OAC的法向量为      =（0，1，0）．
      ∴cos＜      ，＞=．
      两面角O-AC-B的平面角是锐角，记为θ，则
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