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已知椭圆的离心率为,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;(3)设O为坐标原点,取C2上不同于O的点S,以OS为直径作圆与C2相交另外一点R,求该圆面积的最小值时点S的坐标.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
已知椭圆
的离心率为
,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为
.
(1)求椭圆C
1
的方程;
(2)设椭圆C
1
的左焦点为F
1
,右焦点为F
2
,直线l
1
过点F
1
且垂直于椭圆的长轴,动直线l
2
垂直l
1
于点P,线段PF
2
的垂直平分线交l
2
于点M,求点M的轨迹C
2
的方程;
(3)设O为坐标原点,取C
2
上不同于O的点S,以OS为直径作圆与C
2
相交另外一点R,求该圆面积的最小值时点S的坐标.
试题解答
见解析
(1)由题意可知
解得
所以椭圆C
1
的方程是
.
(2)∵|MP|=|MF
2
|,∴动点M到定直线l
1
:x=-1的距离等于它到定点F
2
(1,0)的距离,
∴动点M的轨迹C
2
是以l
1
为准线,F
2
为焦点的抛物线,
所以点M的轨迹C
2
的方程y
2
=4x.
(3)∵以OS为直径的圆C
2
相交于点R,∴以∠ORS=90°,即
.
设S (x
1
,y
1
),R(x
2
,y
2
),
,
.
∴
=x
2
(x
2
-x
1
)+y
2
(y
2
-y
1)
=
=0,
∵y
1
≠y
2
,y
2
≠0,化简得
,
∴
,
当且仅当
,即
,y
2
=±4时等号成立.
圆的直???|OS|=
=
=
=
,
∵
≥64,∴当
=64,y
1
=±8,
,
所以所求圆的面积的最小时,点S的坐标为(16,±8).
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