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  • A1，A2分别是椭圆x29+y24=1的长轴的左、右端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      A1，A2分别是椭圆
      x2
      9
      +
      y2
      4
      =1的长轴的左、右端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为          ．

      试题解答

      x2
      9
      -
      y2
      4
      =1
      解：根据题意，假设直线A1P1与A2P2交点为M．可得A1（-3，0），A2（3，0）
      设M（x，y），P      1（x1，y1），P2（x1，-y1），
      ∵点M在直线PA      1上，∴ kMA1= kA1P1，
      可得
      y -0
      x +3
      =
      y1-0
      x1+3
      ，即
      y
      x +3
      =
      y1
      x1+3
      …①
      同理，由       kMA2= kA2P2得到
      y
      x -3
      =
      -y1
      x1-3
      …②
      将①、②相乘，得
      y 2
      x 2-9
      =
      -y12
      x12-9
      …③
      ∵P      1（x1，y1）在椭圆
      x2
      9
      +
      y2
      4
      =1上，
      ∴
      x12
      9
      +
      y12
      4
      =1，可得y12=4（1-
      x12
      9
      ）
      代入③，得
      y 2
      x 2-9
      =-
      4(1-
      x12
      9
      )
      x 12-9
      =
      4
      9
      ，
      化简整理得
      x2
      9
      -
      y2
      4
      =1，即为直线A1P1与A2P2交点M的轨迹方程
      故答案为：
      x2
      9
      -
      y2
      4
      =1
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