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  • 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点坐标为（0，√3），离心率为12．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点，A为左顶点，F为椭圆的???焦点，求AP?FP的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知椭圆C：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1（a＞b＞0）的上顶点坐标为（0，
      √3
      ），离心率为
      1
      2
      ．
      （Ⅰ）求椭圆方程；
      （Ⅱ）设P为椭圆上一点，A为左顶点，F为椭圆的???焦点，求
      AP
      ?
      FP
      的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设椭圆C的方程为
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)，
      由已知b=
      √3
      ，
      c
      a
      =
      1
      2
      ，
      所以a=2， b=
      √3
      ， c=1，
      得椭圆的方程为
      x2
      4
      +
      y2
      3
      =1．

      （Ⅱ）设P（x，y），
      又A（-2，0），F（1，0），则
      PA
      =(-2-x，-y)，
      PF
      =(1-x，-y)，
      ∴
      PA
      ?
      PF
      =(-2-x，-y)?(1-x，-y)=(x+2)(x-1)+y2
      =      x2+x-2+y2=
      1
      4
      x2+x+1(-2≤x≤2)．
      当x=0时，取得最小值0，当x=2时，取得最大值4，
      ∴
      PA
      ?
      PF
      ∈[0，4]
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