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  • 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，且|AB|=2???2，又M为AB的中点，若O为坐标原点，直线OM的斜率为√22，求该椭圆的方程．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，且|AB|=2
      ???2
      ，又M为AB的中点，若O为坐标原点，直线OM的斜率为
      √2
      2
      ，求该椭圆的方程．

      试题解答

      见解析
      解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0）．
      联立
      {
      ax2+by2=1
      x+y=1
      ，化为（a+b）x2-2bx+b-1=0，
      ∵直线与椭圆相交于不同的两点，
      ∴△=4b      2-4（a+b）（b-1）＞0，（*）
      ∴      x1+x2=
      2b
      a+b
      ，x1x2=
      b-1
      a+b
      ．
      ∴      x0=
      x1+x2
      2
      =
      b
      a+b
      ，
      y      0=1-x0=1-
      b
      a+b
      =
      a
      a+b
      ．
      ∴OM的斜率=
      y0
      x0
      =
      a
      b
      =
      √2
      2
      ，即b=
      √2
      a．
      又2
      √2
      =|AB|=
      √(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]
      =
      √2[(
      2b
      a+b
      )2-
      4(b-1)
      a+b
      ]
      ，
      化为（a+b）      2=a+b-ab，
      联立
      {
      b=
      √2
      a
      (a+b)2=a+b-ab
      ，
      解得
      {
      a=
      1
      3
      b=
      √2
      3
      ，满足（*）
      ∴该椭圆的方程为：
      x2
      3
      +
      √2
      y2
      3
      =1．
      标签
      选修1-1人教A版解答题高中数学

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