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  • 在直角坐标系xoy中，点P到两点(-√3，0)，(√3，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+2与C交于不同的两点A，B．（1）写出C的方程；（2）求证：-1＜OA?OB＜134．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      在直角坐标系xoy中，点P到两点(-
      √3
      ，0)，(
      √3
      ，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+2与C交于不同的两点A，B．
      （1）写出C的方程；
      （2）求证：-1＜
      OA
      ?
      OB
      ＜
      13
      4
      ．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意可得，点P是以P(-
      √3
      ，0)，(
      √3
      ，0)为焦点的椭圆，且2a=4
      ∴a=2，c=
      √3
      ，b2=a2-c2=1
      曲线C的方程为
      x2
      4
      +y2=1
      （2）联立方程
      {
      y=kx+2
      x2
      4
      +y2=1
      可得（1+4k2）x2+16kx+12=0
      由△=4k      2-3＞0可得k2＞
      3
      4

      设A（x      1，y1）B（x2，y2） x1+x2=-
      16k
      1+4k2
      x1x2=
      12
      1+4k2

      ∵
      OA
      ?
      OB
      =x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4
      =(1+k      2)?
      12
      1+4k2
      +2k?
      -16k
      1+4k2
      +4=
      16-4k2
      1+4k2

      令y=
      16-4k2
      1+4k2
      则可得k2 =
      16-y
      4(y+1)
      ＞
      3
      4

      ∴-1＜y＜
      13
      4
      即-1＜
      OA
      ?
      OB
      ＜
      13
      4
      标签
      选修1-1人教A版解答题高中数学

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