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  • 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）中心在原点，焦点在 x轴上，短轴长为12，离心率为45的椭圆；（2）抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2-y2b2=1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为(32，√6)，求抛物线与双曲线的方程．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
      （1）中心在原点，焦点在 x轴上，短轴长为12，离心率为
      4
      5
      的椭圆；
      （2）抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线
      x2
      a2
      -
      y2
      b2
      =1的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为(
      3
      2
      ，
      √6
      )，求抛物线与双曲线的方程．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵椭圆中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为12，
      ∴设椭圆方程为
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1，（a＞b＞0）
      ∵离心率为e=
      4
      5
      ，b=6，
      ∴
      √a2-62
      a
      =
      4
      5
      ，解之得a=10，
      从而得到椭圆方程为
      x2
      100
      +
      y2
      36
      =1；
      （2）设抛物线方程为y      2=2px（p＞0），
      ∵抛物线与双曲线的交点为(
      3
      2
      ，
      √6
      )，
      ∴6=2p×
      3
      2
      ，可得p=2，
      可得抛物线方程为y      2=4x，准线方程为x=-1
      ∵双曲线
      x2
      a2
      -
      y2
      b2
      =1的一个焦点在抛物线的准线上，∴c=1
      又∵(
      3
      2
      ，
      √6
      )是双曲线
      x2
      a2
      -
      y2
      b2
      =1上的点
      ∴
      9
      4
      a2
      -
      6
      b2
      =1，
      联解①②，可得a      2=
      1
      4
      ，b2=
      3
      4
      ，得到双曲线的方程为
      x2
      1
      4
      -
      y2
      3
      4
      =1
      ∴抛物线的方程为y      2=4x，双曲线的方程为
      x2
      1
      4
      -
      y2
      3
      4
      =1．
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      选修1-1人教A版解答题高中数学

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