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已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2,√3),且它的离心率e=12,直线L:y=kx+t与椭圆C1交于M、N两点,若直线L与圆C2:(x-1)2+y2=1相切,椭圆上一点P满足OM+ON=λOP,求实数λ的取值范围.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
已知椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)过点(2,
√
3
),且它的离心率e=
1
2
,直线L:y=kx+t与椭圆C
1
交于M、N两点,若直线L与圆C
2
:(x-1)
2
+y
2
=1相切,椭圆上一点P满足
OM
+
ON
=λ
OP
,求实数λ的取值范围.
试题解答
见解析
解:由题意,
{
4
a
2
+
3
b
2
=1
a
2
-b
2
a
2
=
1
4
,解得a
2
=8,b
2
=6,
所以椭圆的标准方程为:
x
2
8
+
y
2
6
=1,
因为直线l:y=kx+t与圆(x-1)
2
+y
2
=1相切,
所以,
|t+k|
√
1+k
2
=1,
所以2k=
1-t
2
t
(t≠0),
把y=kx+t代入椭圆方程并整理得:(3+4k
2
)x
2
+8ktx+4t
2
-24=0,
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
则有x
1
+x
2
=-
8kt
3+4k
2
,y
1
+y
2
=
6t
3+4k
2
,
因为
OM
+
ON
=λ
OP
,所以P(-
8kt
(3+4k
2
)λ
,
6t
(3+4k
2
)λ
),
又因为点P在椭圆上,
所以代入椭圆方程,整理可得
λ
2
=
2t
2
2+4k
2
=
2
(
1
t
2
)
2
+
1
t
2
+1
.
因为t
2
>0,所以(
1
t
2
)
2
+
1
t
2
+1>1,
所以0<λ
2
<2,所以λ的取值范围为(-
√
2
,0)∪(0,
√
2
).
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