已知函数f（x）=lnx，g(x)=12x2+a（a为常数），若直线l与y=f（x），y=g（x）的图象都相切，且l与y=f（x）图象的切点的横坐标为1（Ⅰ）求直线l的方程及a的值；（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求y=h（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当k≥12时，讨论关于x的方程f（x2+1）-g（x）=k的实数解的个数．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f（x）=lnx，g(x)=

x²+a（a为常数），若直线l与y=f（x），y=g（x）的图象都相切，且l与y=f（x）图象的切点的横坐标为1
（Ⅰ）求直线l的方程及a的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g'（x），求y=h（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）当k≥

时，讨论关于x的方程f（x²+1）-g（x）=k的实数解的个数．

见解析

解（I）f′(x)|_x=1=

|_x=1=1，
∴k₁=1，切点为（1，f（1））=（1，0）
∴l的方程为y=x-1
∵l与g（x）相切，
∴由

{

y=x-1

x²+a

得

x²+a=x-1，
又△=0，∴a=-

…（4分）
（Ⅱ）h(x)=ln(x+1)-(

x²-

)′=ln(x+1)-x(x＞-1)
∴h′(x)=

x+1

-1
令h'（x）＞0，∴

x+1

＞1，∴-1＜x＜0
∴增区间为（-1，0]
（Ⅲ）令y₁=f(x²+1)-g(x)=ln(x²+1)-

x²+

，y₂=k
∵y′₁=

1+x²

-x=

-x(x-1)(x+1)

1+x²

∴y_1极大=ln2（当x=±1时取得）∴y_1极小=

（当x=0时取得）
∴k∈（ln2，+∞）时，无解；k=ln2时，有两解；k=

时，有三解；

＜k＜ln2时，有四解

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