试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • 已知函数f(x)=12x2 -lnx，g(x)=lnx-x．（1）求f（x）在（1，12）处的切线方程；（2）若h（x）=f（x）+ag（x），a＞1．①讨论函数h（x）的单调性；②若对于任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，均有h(x1)-h(x2)x1-x2＞-1，求实数a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      1
      2
      x
      2
      -lnx，g(x)=lnx-x．
      （1）求f（x）在（1，
      1
      2
      ）处的切线方程；
      （2）若h（x）=f（x）+ag（x），a＞1．
      ①讨论函数h（x）的单调性；
      ②若对于任意x      1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，均有
      h(x1)-h(x2)
      x1-x2
      ＞-1，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f′(x)=x-
      1
      x
      ，∴f′（1）=0．
      ∴f（x）在（1，
      1
      2
      ）处的切线方程为：y=
      1
      2
      ；
      （2）①∵h（x）=f（x）+ag（x）=
      1
      2
      x2-lnx+alnx-ax，（x＞0），a＞1．
      ∴      h′(x)=x-a+
      a-1
      x
      =
      (x-1)[x-(a-1)]
      x
      ，
      1° 当a-1=1，即a=2时，      h′(x)=
      (x-1)2
      x
      ≥0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．
      2°当a-1＜1时，又a＞1，即1＜a＜2时，
      ∵函数h（x）在区间（a-1，1）上，h      ′（x）＜0；在区间（0，a-1）及（1，+∞）上，h′（x）＞0．
      ∴函数h（x）在区间（a-1，1）上单调递减；在区间（0，a-1）及（1，+∞）上单调递增．
      3°当a-1＞1，即 a＞2时，同理可得h（x）在区间（1，a-1）上单调递减；在区间（0，1）及（a-1，+∞）上单调递增．
      ②不妨设0＜x      1＜x2，则
      h(x1)-h(x2)
      x1-x2
      ＞-1，得h（x1）+x1＜h（x2）+x2．
      令M（x）=h（x）+x=
      1
      2
      x2-ax+(a-1)lnx+x，
      则M（x）在（0，+∞）上单调递增，
      于是      M′(x)=x-a+1+
      a-1
      x
      =
      x2-(a-1)x+(a-1)
      x
      ≥0在（0，+∞）上恒成立．
      即R（x）=x      2-（a-1）x+（a-1）≥0在（0，+∞）上恒成立．
      ∵a＞1，∴R（0）=a-1＞0，对称轴
      a-1
      2
      ＞0．
      因此必须要求△=（a-1）      2-4（a-1）≤0，又a＞1，解得1＜a≤5．
      标签
      选修2-2北师大版解答题高中数学

    利用导数研究曲线上某点切线方程相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn