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  • 函数f（x）=ax3+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行，导函数f′（x）的最小值为-12．（1）求a、b的值；（2）讨论方程f（x）=m解的情况（相同根算一根）．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）=ax3+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行，导函数f′（x）的最小值为-12．
      （1）求a、b的值；
      （2）讨论方程f（x）=m解的情况（相同根算一根）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f′（x）=3ax2+b的最小值为-12
      ∴b=-12，且a＞0
      又直线6x+y+7=0的斜率为-6
      ∵函数f（x）=ax      3+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行
      ∴f'（1）=3a+b=-6
      ∴a=2
      ∴a=2，b=-12
      （2）由（1）知f（x）=2x      3-12x，f′(x)=6x2-12=6(x+
      √2
      )(x-
      √2
      )，列表如下：
      x （-∞，-
      √2
      ）       		-
      √2
      		(-
      √2
      ，
      √2
      )
      √2
      		(
      √2
      ，+∞)
      f′ + 0 - 0 +
      f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
      所以，函数f（x）的单调增区间是（-∞，-
      √2
      ）和(
      √2
      ，+∞)
      ∴f（x）在x=-
      √2
      时取得极大值为f(-
      √2
      )=8
      √2
      ，f（x）在x=
      √2
      时取得极小值为f(
      √2
      )=-8
      √2

      ∴当m＞8
      √2
      或m＜-8
      √2
      时，方程有一根；
      当m=8
      √2
      或m=-8
      √2
      时，方程有两个根；
      当-8
      √2
      ＜m＜8
      √2
      时，方程有三个根
      标签
      选修2-2北师大版解答题高中数学

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