已知函数f（x）=x+ax+1，g（x）=（1-a）ex（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y+1=0平行，求实数a的值；（II）当0＜a＜1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f（x）=

x+a

x+1

，g（x）=（1-a）e^x（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y+1=0平行，求实数a的值；
（II）当0＜a＜1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域．

见解析

解：（I）∵f（x）=

x+a

x+1

，
∴f′（x）=

1-a

(x+1)²

，
∵曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y+1=0平行，
∴f^′(1)=

1-a

，解得a=-

．
（II）∵f（x）=

x+a

x+1

，g（x）=（1-a）e^x，
∴F（x）=f（x）-g（x）=

x+a

x+1

-（1-a）e^x，
∴F′（x）=

1-a

(x+1)²

-（1-a）e^x=（1-a）[

(x+1)²

-e^x]，
∵0＜a＜1，x∈（0，1]，
∴1-a＞0，

(x+1)²

-e^x＜0，
∴F′（x）＜0，
∴F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上是减函数，
∵F（0）=a-1+a=2a-1，
F（1）=

1+a

-（1-a）e，
∴函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域为[

1+a

-（1-a）e，2a-1）．

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