设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：1e+1e7+1e17+…+1e2n2-1＜1115，n∈N*．试题及答案-解答题-云返教育

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设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：

e⁷

e¹⁷

+…+

e^{2n^2-1}

＜

，n∈N^*．

试题解答

见解析

（1）解：∵函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．
∴f′（x）=1-aln（x+1）-a，x＞-1，
令f′（x）=1-aln（x+1）-a=0，
得x=e^1-a
a-1，
列表，得

（-1，e^1-a
a-1）

e^1-a
a-1

（e^1-a
a-1，+∞）

f′（x）

f（x）

↑

极大值

↓

∴f（x）在（-1，e^1-a
a-1]上单调递增，在[e^1-a
a-1，+∞）单调递减；
（2）证明：由（1）知，
当a=1时，f（x）在（-1，0]上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
故当x∈（-1，0）∪（0，+∞）时，
恒有f（x）＜f′（0），
即x-（x+1）ln（x+1）＜0，
即ln（x+1）＞

x+1

，即e^x
x+1＜x+1．
取x=

2n²

-1∈(-1，0)，n∈N⁺，
则有e^{1
2n²
-1
1
2n²}=e^1-2n²
＜（

2n²

-1）+1
=

4n²

＜

4n²-1

2n-1

2n+1

，n∈N⁺，
求和得

e⁷

e¹⁷

+…+

e^2n²-1

≤

)+(

)+…+(

2n-1

2n+1

)
=

2n+1

＜

2.5

，n∈N⁺．

标签

选修2-2 北师大版解答题高中数学

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：1e+1e7+1e17+…+1e2n2-1＜1115，n∈N*．试题及答案-解答题-云返教育

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