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  • 已知函数f（x）=6lnx+x2-8x，g(x)=px+x2 (p∈R)．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=6lnx+x2-8x，g(x)=
      p
      x
      +x2 (p∈R)．
      （1）求函数f（x）的单调递增区间；
      （2）若在区间[1，e]上至少存在一点x      0，使f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f′(x)=
      6
      x
      +2x-8=
      2x2-8x+6
      x
      =
      2(x-3)(x-1)
      x
      （3分）
      ∴x∈（1，3）时，f'（x）＜0，
      ∴f（x）在[1，3]单调递减，
      x∈（0，1）或x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，
      ∴f（x）在（0，1]和[3，+∞）单调递增（5分）
      （2）令h(x)=f(x)-g(x)=6lnx-8x-
      p
      x
      （6分）
      ∴h′(x)=
      6
      x
      -8+
      p
      x2
      =
      -8x2+6x+p
      x2
      （7分）
      令-8x      2+6x+p=0知△=36+32p，
      （i）当36+32p≤0即p≤-
      9
      8
      时，
      △≤0，此时h'（x）≤0，
      ∴h（x）在[1，e]单调递减，
      ∴h（x）      max=h（1）=-8-p＞0，
      ∴p＜-8（9分）
      （ii）当P＞-
      9
      8
      时，
      方程（1）有两根      x1=
      3+
      √9+8p
      8
      ，x2=
      3-
      √9+8p
      8
      ＜1．（10分）
      ①若
      3+
      √9+8p
      8
      ≥e，即p≥8e2-6e时，
      当x∈[1，e]，h'（x）≥0，此时h（x）在[1，e]上单调递增．
      ∴h(x)      max=h(e)=6-8e-
      p
      e
      ＞0，得p＜6e-8e2，此时无解．（11分）
      ②若
      3+
      √9+8p
      8
      ≤1，
      即-
      9
      8
      ＜p≤2时，
      当x∈[1，e]，h'（n）＜0，
      ∴h（x）在[1，e]单调递减．
      ∴h（x）      max=h（1）=-8-p＞0，
      ∴p＜-8此时无解．（12分）
      ③当2＜p＜8e      2-6e时，1＜
      3+
      √9+8p
      8
      ＜e，
      ∴x∈[1，
      3+
      √9+8p
      8
      ]，h′(x)＞0，h(x)单调递增，
      x∈[
      3+
      √9+8p
      8
      ，e]，h′(x)＜0h（x）单调递减，
      ∴x=
      3+
      √9+8p
      8
      时，h(x)max=h(
      3+
      √9+8p
      8
      )=6ln
      3+
      √9+8p
      8
      -8?
      3+
      √9+8p
      8
      -
      p
      3+
      √9+8p
      8
      ＜6lne-8=-2，此时无解（13分）
      综上知p＜-8时存在x      0使f（x0）＞g（x0）．（14分）
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