设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）（1）若对任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，求实数m的最小值；（2）求函数g（x）=f（x）-x2-x在区间[0，2]上的极值．试题及答案-解答题-云返教育

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设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）（1）若对任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，求实数m的最小值；（2）求函数g（x）=f（x）-x²-x在区间[0，2]上的极值．

见解析

解：（1）设f（x）在[0，1]上的最大值是f（x）_max，
∵对任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，
∴f（x）_max≤m．
∵f^′(x)=2(1+x)-

1+x

2x²+4x

1+x

，
当x∈[0，1]时，f′（x）≥0，
故f（x）在[0，1]内为增函数．
∴f（x）_max=f（1）=4-2ln2，
∴m≥4-2ln2，
即实数m的最小值是4-2ln2．
（2）∵g（x）=f（x???-x²-x=1+x-2ln（1+x），
∴g^′(x)=1-

1+x

x-1

x+1

．
当x＞1时，g′（x）＞0；当-1＜x＜1时，g′（x）＜0，
∴g（x）在[0，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数，
∴g（x）在[0，2]上的极小值为g（1）=2-2ln2．

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