定义在R上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：g(x)+2g(-x)=ex+2ex-9，h(-2)=h(0)=1且h（-3）=-2．（Ⅰ）求g（x）和h（x）的解析式；（Ⅱ）对于x1，x2∈[-1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）-x2g（x2）成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设f(x)={g(x)，(x＞0)h(x)，(x≤0)，讨论方程f[f（x）]=2的解的个数情况．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

定义在R上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：g(x)+2g(-x)=e^x+

e^x

-9，h(-2)=h(0)=1且h（-3）=-2．
（Ⅰ）求g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）对于x₁，x₂∈[-1，1]，均有h（x₁）+ax₁+5≥g（x₂）-x₂g（x₂）成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）设f(x)=

{	g(x)，(x＞0) h(x)，(x≤0)

，讨论方程f[f（x）]=2的解的个数情况．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）∵g(x)+2g(-x)=e^x+

e^x

-9，①，在①中以-x代替x得：g(-x)+2g(x)=e^-x+

e^-x

-9，即g(-x)+2g(x)=2e^x+

e^x

-9，②
由①②联立解得：g（x）=e^x-3．
∵h（x）是二次函数，且h（-2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，
由h（-3）=-2，解得a=-1．
∴h（x）=-x（x+2）+1=-x²-2x+1，
∴g（x）=e^x-3，h（x）=-x²-2x+1．
（Ⅱ）设?（x）=h（x）+ax+5=-x²+（a-2）x+6，F（x）=e^x-3-x（e^x-3）=（1-x）e^x+3x-3，
依题意知：当-1≤x≤1时，?（x）_min≥F（x）_max，
∵F′（x）=-e^x+（1-x）（e^x-3）+3=-xe^x+3，在[-1，1]上单调递减，∴F′（x）_min=F′（1）=3-e＞0，
∴F（x）在[-1，1]上单调递增，
∴F（x）_max=F（1）=0，
∴

{	?(-1)=7-a≥0 ?(1)=a+3≥0

，解得：-3≤a≤7，
∴实数a的取值范围为[-3，7]．

（Ⅲ）设t=a+5，由（Ⅱ）知，2≤t≤12，f（x）的图象如图所示：
设f（x）=T，则f（T）=t
当t=2，即a=-3时，T₁=-1，T₂=ln5，f（x）=-1有两个解，f（x）=ln5有3个解；
当2＜t＜e²-3，即-3＜a＜e²-8时，T=ln（t+3）且ln5＜T＜2，f（x）=T有3个解；
当t=e²-3，即a=e²-8时，T=2，f（x）=T有2个解；
当e²-3＜t≤12，即e²-8＜a≤7时，T=ln（t+3）＞2，f（x）=T有1个解．
综上所述：
当a=-3时，方程有5个解；
当-3＜a＜e²-8时，方程有3个解；
当a=e²-8时，方程有2个解；
当e²-8＜a≤7时，方程有1个解．

标签

选修2-2 北师大版解答题高中数学

试题详情

试题解答

利用导数求闭区间上函数的最值相关试题