已知f（x）=lnx+x2-bx．（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（2）当b=-1时，设g（x）=f（x）-2x2，求证函数g（x）只有一个零点．试题及答案-解答题-云返教育

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已知f（x）=lnx+x²-bx．
（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）当b=-1时，设g（x）=f（x）-2x²，求证函数g（x）只有一个零点．

见解析

（1）解：∵f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f′（x）=

+2x-b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（

+2x）_min　（x＞0），
∵x＞0，
∴

+2x≥2

√2

，当且仅当x=

√2

时取“=”，∴b≤2

√2

，
∴b的取值范围为（-∞，2

√2

]．
（2???证明：当b=-1时，g（x）=f（x）-2x²=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞），
∴g′（x）=

-2x+1=-

2x²-x-1

，
令g′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴当x≠1时，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，当x=1时，g（x）=0．
∴函数g（x）只有一个零点．

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