设f(x)=x33，对任意实数t，记gt(x)=t23x-23t．（Ⅰ）求函数y=f（x）-g8（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数x0，使得g8（x0）≥gt（x0）对任意正实数t成立．试题及答案-解答题-云返教育

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设f(x)=

x³

，对任意实数t，记g_t(x)=t^2
3x-

t．
（Ⅰ）求函数y=f（x）-g₈（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：（ⅰ）当x＞0时，f（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数x₀，使得g₈（x₀）≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．

试题解答

见解析

解：（I）解：y=

x³

-4x+

．由y'=x²-4=0，得x=±2．
因为当x∈（-∞，-2）时，y'＞0，
当x∈（-2，2）时，y'＜0，
当x∈（2，+∞）时，y'＞0，
故所求函数的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞），
单调递减区间是（-2，2）．
（II）证明：（i）方法一：
令h(x)=f(x)-g_t(x)=

x³

-t^2
3x+

t(x＞0)，则h′(x)=x²-t^2
3，
当t＞0时，由h'（x）=0，得x=t^1
3，
当x∈(x^1
3，+∞)时，h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是h(t^1
3)=0．
故当x＞0时，f（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立．
方法二：
对任意固定的x＞0，令h(t)=g_t(x)=t^2
3x-

t(t＞0)，则h′(t)=

t^-1
3(x-t^1
3)，
由h'（t）=0，得t=x³．
当0＜t＜x³时，h'（t）＞0．
当t＞x³时，h'（t）＜0，
所以当t=x³时，h（t）取得最大值h(x³)=

x³．
因此当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．
（ii）方法一：f(2)=

=g_t(2)．
由（i）得，g_t（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．
即存在正实数x₀=2，使得g_x（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．
下面证明x₀的唯一性：
当x₀≠2，x₀＞0，t=8时，f(x₀)=

x₀³

，g_x(x₀)=4x₀-

，
由（i）得，

x₀³

＞4x₀-

，
再取t=x₀³，得g_x₀³(x₀)=

x₀³

，
所以g_x(x₀)=4x₀-

＜

x₀³

=g_x₀³(x₀)，
即x₀≠2时，不满足g_x（x₀）≥g_t（x₀）对任意t＞0都成立．
故有且仅有一个正实数x₀=2，
使得g_x（x₀）0≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．
方法二：对任意x₀＞0，g_x(x₀)=4x₀-

，
因为g_t（x₀）关于t的最大值是

x₀³，所以要使g_x（x₀）≥g_t（x₀）
对任意正实数成立的充分必要条件是：4x₀-

≥

x₀³，
即（x₀-2）²（x₀+4）≤0，①
又因为x₀＞0，不等式①成立的充分必要条件是x₀=2，
所以有且仅有一个正实数x₀=2，
使得g_x（x₀）≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．

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选修1-1 北师大版解答题高中数学

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