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某公园内有一椭圆形景观水池,经测量知,椭圆长轴长为20米,短轴长为16米,现以椭圆长轴所在直线为轴,短轴所在直线为轴,建立平面直角坐标系,如图所示:(1)为增加景观效果,拟在水池内选定两点安装水雾喷射口,要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等,请指出水雾喷射口的位置(用坐标表示),并求椭圆的方程。(2)为了增加水池的观赏性,拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置,请确定点M的位置,使此三角形区域面积最大。试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
某公园内有一椭圆形景观水池,经测量知,椭圆长轴长为20米,短轴长为16米,现以椭圆长轴所在直线为
轴,短轴所在直线为
轴,建立平面直角坐标系,如图所示:
(1)为增加景观效果,拟在水池内选定两点安装水雾喷射口,要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等,请指出水雾喷射口的位置(用坐标表示),并求椭圆的方程。
(2)为了增加水池的观赏性,拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置,请确定点M的位置,使此三角形区域面积最大。
试题解答
见解析
本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
(I)设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,则2a=20,2b=16,由椭圆定义知水雾喷射口的位置,并可得椭圆的方程;
(Ⅱ)记点M到直线AB的距离为d,过点M与AB平行的直线为l,则S
△ABM
=
要使△ABM的面积最大,则只需d最大,即l与AB这两平行线间的距离最大,设出方程代入椭圆方程即可求解.
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