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  • 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．（1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；（2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（√2-1），求此时的椭圆方程；（3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-√22，-√33）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知椭圆E：
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1（a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
      （1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B      1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
      （2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
      √2
      -1），求此时的椭圆方程；
      （3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
      √2
      2
      ，-
      √3
      3
      ）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵圆F1以（-c，0）为圆心，以a-c为半径，
      ∴圆F      1的方程是（x+c）2+y2=（a-c）2，
      ∵B      2M、B2N与圆F1切于M、N点，∴B2、M、F1、N四点共圆，且B2F1为直径，
      由此可得：过此四点的圆的方程是（x+
      c
      2
      ）2+（y-
      b
      2
      ）2=
      1
      4
      (b2+c2)，
      两圆方程相减，可得两个圆的公共弦MN的方程为cx+by+c      2=（a-c）2，
      又∵点B      1在MN上，∴a2+b2-2ac=0，
      由b      2=a2-c2，化简得2a2-2ac-c2=0，即e2+2e-2=0，
      ∴此椭圆的离心率e=
      √3
      -1（负值舍去）．
      （2）由（1）知，MN的方程为cx+by+c      2=（a-c）2，由已知-
      c
      b
      =-1可得b=c，
      ∵原点到MN的距离为d=
      |c2-(a-c)2|
      √c2+b2
      =
      |2ac-a2|
      a
      =|2c-a|=
      √2
      a，
      ∴a=4，b      2=c2=8，所求椭圆方程是
      x2
      16
      +
      y2
      8
      =1；
      （3）由（1）的计算，可得直线MN的斜率为-
      c
      b
      ．
      假设存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
      √2
      2
      ，-
      √3
      3
      ）内取值，
      则有-
      √2
      2
      ＜-
      c
      b
      ＜-
      √3
      3
      成立，
      ∴
      √3
      3
      ＜
      c
      b
      ＜
      √2
      2
      ，得
      1
      3
      ＜
      c2
      b2
      ＜
      1
      2
      ，即
      1
      3
      ＜
      c2
      a2-c2
      ＜
      1
      2
      ，解得3c2＜a2＜4c2，
      由此可得e      2=
      c2
      a2
      ∈（
      1
      4
      ，
      1
      3
      ），所以椭圆的离心率e∈（
      1
      2
      ，
      √3
      3
      ）．
      因此，当离心率取值范围是（
      1
      2
      ，
      √3
      3
      ）时，直线MN的斜率可以在区间（-
      √2
      2
      ，-
      √3
      3
      ）内取值．
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      选修1-1人教A版解答题高中数学

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