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  • 已知椭圆的中心在原点，焦点F在y轴的非负半轴上，点F到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F距离的最大值是6．（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率e；（Ⅱ）若F′为焦点F关于直线y=32的对称点，动点M满足|MF||MF′|=e，问是否存在一个定点M，使M到点A的距离为定值？若存在，求出点A的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知椭圆的中心在原点，焦点F在y轴的非负半轴上，点F到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F距离的最大值是6．
      （Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率e；
      （Ⅱ）若F′为焦点F关于直线y=
      3
      2
      的对称点，动点M满足
      |MF|
      |MF′|
      =e，问是否存在一个定点M，使M到点A的距离为定值？若存在，求出点A的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得
      {
      a=4
      a+c=6
      ，
      解得a=4，c=2．
      所以椭圆的标准方程为
      x2
      12
      +
      y2
      16
      =1．
      离心率e=
      2
      4
      =
      1
      2

      （Ⅱ）F（0，2），F′（0，1），设M（x，y）由
      |MF|
      |MF′|
      =e得
      √x2+(y-2)2
      √x2+(y-1)2
      =
      1
      2

      化简得3x      2+3y2-14y+15=0，即x2+（y-
      7
      3
      ）2=（
      2
      3
      ）2
      故存在一个定点M（0，
      7
      3
      ），
      使M到A点的距离为定值，其定值为
      2
      3
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      选修1-1人教A版解答题高中数学

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