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  • 以知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1（-c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点E(a2c，0)的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求nm的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      以知椭圆
      x2
      a2
      +
      y2
      b2
      =1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1（-c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点E(
      a2
      c
      ，0)的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．
      （1）求椭圆的离心率；
      （2）求直线AB的斜率；
      （3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F      2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求
      n
      m
      的值．

      试题解答

      见解析
      （1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，
      得|
      EF2
      EF1
      |=|
      F2B
      F1A
      |=
      1
      2
      ，从而
      a2
      c
      -c
      a2
      c
      +c
      =
      1
      2

      整理，得a      2=3c2，故离心率e=
      c
      a
      =
      √3
      3

      （2）解：由（I）得b      2=a2-c2=2c2，
      所以椭圆的方程可写为2x      2+3y2=6c2
      设直线AB的方程为y=k(x-
      a2
      c
      )，即y=k（x-3c）．
      由已知设A（x      1，y1），B（x2，y2），
      则它们的坐标满足方程组
      {
      y=k(x-3c)
      2x2+3y2=6c2

      消去y整理，得（2+3k      2）x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0．
      依题意，△=48c      2(1-3k2)＞0，得-
      √3
      3
      ＜k＜
      √3
      3

      而      x1+x2=
      18k2c
      2+3k2
      ①
      x1x2=
      27k2c2-6c2
      2+3k2
      ②
      由题设知，点B为线段AE的中点，所以x      1+3c=2x2③
      联立①③解得      x1=
      9k2c-2c
      2+3k2
      ，x2=
      9k2c+2c
      2+3k2

      将x      1，x2代入②中，解得k=±
      √2
      3
      ．
      （III）解法一：由（II）可知      x1=0，x2=
      3c
      2

      当k=-
      √2
      3
      时，得A(0，
      √2
      c)，由已知得C(0，-
      √2
      c)．
      线段AF      1的垂直平分线l的方程为y-
      √2
      2
      c=-
      √2
      2
      (x+
      c
      2
      )直线l与x轴
      的交点(
      c
      2
      ，0)是△AF1C外接圆的圆心，
      因此外接圆的方程为(x-
      c
      2
      )2+y2=(
      c
      2
      +c)2．
      直线F      2B的方程为y=
      √2
      (x-c)，
      于是点H（m，n）的坐标满足方程组
      {
      (m-
      c
      2
      )2+n2=
      9c2
      4
      n=
      √2
      (m-c)
      ，
      由m≠0，解得
      {
      m=
      5
      3
      c
      n=
      2
      √2
      3
      c
      故
      n
      m
      =
      2
      √2
      5

      当k=
      √2
      3
      时，同理可得
      n
      m
      =-
      2
      √2
      5
      ．
      解法二：由（II）可知      x1=0，x2=
      3c
      2

      当k=-
      √2
      3
      时，得A(0，
      √2
      c)，由已知得C(0，-
      √2
      c)
      由椭圆的对称性可知B，F      2，C三点共线，
      因为点H（m，n）在△AF      1C的外接圆上，
      且F      1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形．
      由直线F      2B的方程为y=
      √2
      (x-c)，
      知点H的坐标为(m，
      √2
      m-
      √2
      c)．
      因为|AH|=|CF      1|，所以m2+(
      √2
      m-
      √2
      c-
      √2
      c)2=a2，解得m=c（舍），或m=
      5
      3
      c．
      则n=
      2
      √2
      3
      c，所以
      n
      m
      =
      2
      √2
      5
      ．当k=
      √2
      3
      时同理可得
      n
      m
      =-
      2
      √2
      5
      标签
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