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  • 已知焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1，(b＞0)F1，F2是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使PF1?PF2=0，则b的取值范围是 ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      已知焦点在x轴上的椭圆
      x2
      4
      +
      y2
      b2
      =1，(b＞0)F1，F2是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使
      PF1
      ?
      PF2
      =0，则b的取值范围是           ．

      试题解答

      （0，
      √2
      ]
      解：先证一个结论：若B为椭圆短轴端点，则∠F1PF2≤∠F1BF2．记∠F1PF2=θ，
      |PF      1|=r1，|PF2|=r2，cosθ=
      r12+r22-4c2
      2r1r2
      =
      (r1 +r2)2-2r1r2-4c2
      2r1r2
      =
      4a2 -4c2
      2r1r2
      -1
      又r      1r2≤（
      r1+r2
      2
      ）2=a2，∴cosθ≥
      a2+a2-4c2
      2a2
      =cos∠F1BF2，当且仅当r1=r2时等号成立，
      即∠F      1PF2≤∠F1BF2．题中椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=900，当且仅当∠F1BF2≥900，即
      cos∠F      1BO≤
      √2
      2
      等价于b≤
      √2
      2
      a=
      √2
      ，∴b∈（0，
      √2
      ]．
      故答案为：（0，
      √2
      ]．
      标签
      选修1-1人教A版填空题高中数学

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