已知函数f（x）=ln1x-ax2+x（a＞0）．（1）若f′（1）=f′（2），求f（x）图象在x=1处的切线的方程；（2）若f（x）的极大值和极小值分别为m，n，证明：m+n＞3-2ln2．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f（x）=ln

-ax²+x（a＞0）．
（1）若f′（1）=f′（2），求f（x）图象在x=1处的切线的方程；
（2）若f（x）的极大值和极小值分别为m，n，证明：m+n＞3-2ln2．

见解析

解：（1）f′(x)=-

2ax²-x+1

∵f′（1）=f′（2），
∴-2a=

8a-1

，即a=

∴f(x)=-lnx-

x²+x
∴f(1)=

，f′(1)=-

∴f（x）图象在x=1处的切线的方程为y-

(x-1)，即2x+4y-5=0；
（2）设x₁，x₂为方程f′（x）=0的两个实数根，
则x₁+x₂=

，x₁x₂=

由题意得：

{	△=1-8a＞0 x₁+x₂＞0 x₁x₂＞0

?0＜a＜

则m+n=f(x₁)+f(x₂)=-lnx₁-ax₁²+x₁-lnx₂-ax₂²+x₂
=-lnx₁x₂-a[(x₁+x₂)²-2x₁x₂]+x₁+x₂=lna+

+ln2+1
令g(a)=lna+

+ln2+1，则g′(a)=

4a-1

4a²

，
故当0＜a＜

时，g′（a）＜0，g（a）是减函数，
则g(a)＞g(

)=3-2ln2
即m+n＞3-2ln2

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