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  • 若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为 ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值为          ．

      试题解答

      16
      解：∵函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，
      ∴f（-1）=f（-3）=0且f（1）=f（-5）=0，
      即[1-（-3）      2][（-3）2+a?（-3）+b]=0且[1-（-5）2][（-5）2+a?（-5）+b]=0，
      解之得
      {
      a=8
      b=15

      因此，f（x）=（1-x      2）（x2+8x+15）=-x4-8x3-14x2+8x+15
      求导数，得f'（x）=-4x      3-24x2-28x+8
      令f'（x）=0，得x      1=-2-
      √5
      ，x2=-2，x3=-2+
      √5

      当x∈（-∞，-2-
      √5
      ）时，f'（x）＞0；当x∈（-2-
      √5
      ，-2）时，f'（x）＜0；
      当x∈（-2，-2+
      √5
      ）时，f'（x）＞0； 当x∈（-2+
      √5
      ，+∞）时，f'（x）＜0
      ∴f（x）在区间（-∞，-2-
      √5
      ）、（-2，-2+
      √5
      ）上是增函数???在区间（-2-
      √5
      ，-2）、（-2+
      √5
      ，+∞）上是减函数
      又∵f（-2-
      √5
      ）=f（-2+
      √5
      ）=16
      ∴f（x）的最大值为16
      故答案为：16
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