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  • 已知函数f(x)=13ax3-14x2+cx+d(a，c，d∈R，a≠0)满足f（0）=0，f′（1）=0，且f（x）在R上单调递增．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f′（x）-m?x在区间[m，m+2]上的最小值为-5，求实数m的值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      1
      3
      ax3-
      1
      4
      x2+cx+d(a，c，d∈R，a≠0)满足f（0）=0，f′（1）=0，且f（x）在R上单调递增．
      （1）求f（x）的解析式；
      （2）若g（x）=f′（x）-m?x在区间[m，m+2]上的最小值为-5，求实数m的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵数f(x)=
      1
      3
      ax3-
      1
      4
      x2+cx+d(a，c，d∈R，a≠0)满足f（0）=0，
      ∴d=0，
      ∴      f′(x)=ax2-
      1
      2
      x+c，
      ∵f′（1）=0，
      ∴a-
      1
      2
      +c=0，
      ∵f（x）在R上单调递增，
      ∴      f′(x)=ax2-
      1
      2
      x+c≥0，x∈R，
      ∴      ax2-
      1
      2
      x+
      1
      2
      -a≥0，x∈R．
      故：
      {
      a＞0
      (-
      1
      2
      )2-4a(
      1
      2
      -a)≤0
      ，
      ∴a=
      1
      4
      ，于是c=
      1
      4
      ，
      故f（x）=
      1
      12
      x3-
      1
      4
      x2+
      1
      4
      x．
      （2）      f′(x)=
      1
      4
      x2-
      1
      2
      x+
      1
      4
      ，
      故g（x）=f′（x）-mx
      =
      1
      4
      x2-(
      1
      2
      +m)x+
      1
      4
      ，
      对称轴为x=2m+1．下面分情况讨论对称轴与区间的位置关系：
      ①
      {
      2m+1＜m
      gmin(x)=g(m)=-5
      ，
      {
      m＜-1
      m2
      4
      -(
      1
      2
      +m)m+
      1
      4
      =-5
      ，
      {
      m＜-1
      m2
      4
      -(
      1
      2
      +m)m+
      1
      4
      =-5
      ，
      ∴m=-3，（m=
      7
      3
      舍去）；
      ②当
      {
      m≤2m+1＜m+2
      gmin=g(2m+1)=-5
      时，
      {
      -1≤m＜1
      m=
      -1±
      √21
      2
      ，
      ∴m∈?；
      ③当
      {
      2m+1≥m+2
      g(m+2)=-5
      时，
      {
      m≥1
      m=-1±2
      √2
      ，
      ∴m=-1+2
      √2
      ；
      综上可得，满足题意的m有m=-3或m=-1+2
      √2
      ．
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