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  • 已知函数f（x）=axx2+b在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）实数m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？（3）是否存在这样的实数m，同时满足：①m≤1；②当x∈（-∞，m]时，f（x）≥m恒成立．若存在，请求出m的取值范围；若不存在，说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      ax
      x2+b
      在x=1处取得极值2．
      （1）求函数f（x）的解析式；
      （2）实数m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？
      （3）是否存在这样的实数m，同时满足：①m≤1；②当x∈（-∞，m]时，f（x）≥m恒成立．若存在，请求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）已知函数f（x）=
      ax
      x2+b
      ，
      ∴f′(x)=
      a(x2+b)-ax(2x)
      (x2+b)2
      ．…（2分）
      又函数f（x）在x=1处取得极值2，
      ∴
      {
      f′(1)=0
      f(1)=2
      ，
      即
      {
      a(1+b)-2a=0
      a
      1+b
      =2
      ?
      {
      a=4
      b=1.
      ，
      ∴f(x)=
      4x
      x2+1
      ．…（4分）
      （2）由f′(x)=
      4(x2+1)-4x(2x)
      (x2+1)2
      =
      4(1-x2)
      (x2+1)2
      =0?x=±1．…（5分）
      x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞）
      f'（x） - 0 + 0 -
      f（x） 单调递减 极小值-2 单调递增 极大值2 单调递减
      所以f(x)=
      4x
      x2+1
      的单调增区间为[-1，1]．…（7分）
      若（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间，
      则有
      {
      m≥-1
      2m+1≤1
      2m+1＞m
      ，
      解得-1＜m≤0．
      即m∈（-1，0]时，（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间．…（9分）
      （3）分两种情况讨论如下：
      ①当m≤-1时，由（2）得f（x）在（-∞，m]单调递减，
      要使f（x）≥m恒成立，
      必须f(x)      min=f(m)=
      4m
      m2+1
      ≥m，…（10分）
      因为m≤-1，
      ∴
      4
      m2+1
      ≤1，即m2+1≥4，∴m2≥3
      ∴m≥
      √3
      (舍去)或者m≤-
      √3
      …（12分）
      ②当-1＜m＜1时，
      由（2）得f（x）在（-∞，-1）单调递减，在（-1，m]单调递增，
      要使f（x）≥m恒成立，
      必须f（x）      min=f（-1）=-2≥m，
      故此时不存在这样的m值．
      综合①②得：满足条件的m的取值范围是m≤-
      √3
      ． …（14分）
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