设f（x）=（x+1）ln（x+1）+m（x2+2x）（m∈R）（1）当m=-1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时，f（x）≤0，求实数m的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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设f（x）=（x+1）ln（x+1）+m（x²+2x）（m∈R）
（1）当m=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时，f（x）≤0，求实数m的取值范围．

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见解析

解：（1）函数f（x）的定义域是（-1，+∞），
令p（x）=ln（x+1）-x，
p^′(x)=

x+1

-1，
当x∈（-1，0）时，p′（x）＞0；当x∈（0，1）时，p′（x）＜0，
∴当x=0时，p（x）取最大值p（0）=ln1-0=0，
∴p（x）=ln（x+1）-x≤0，
∴ln（x+1）≤x．
当m=-1时，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x²-2x，
则f'（x）=ln（x+1）-2x-1≤x-2x-1=-（x+1）＜0
∴f（x）的单调递减区间是（-1，+∞）．
（2）由题意得：f（0）=0，
f′（x）=ln（x+1）+（1+2m）+2mx
≤x+（1+2m）+2mx
=（1+2m）（x+1）．
若m≤-

，x≥0时，f′（x）≤0，
即f（x）在[0，+∞）上是减函数，
故此时f（x）≤f（0）=0恒成立．
若-

＜m＜0，x≥0时，
设g（x）=ln（x+1）+（1+2m）+2mx，
则g^′(x)=

x+1

+2m，
由g^′(x)=

x+1

+2m＞0，得x＜-

1+2m

；
由g^′(x)=

x+1

+2m＜0，得x＞-

1+2m

．
∴g（x）在（0，-

1+2m

）上递增，在（-

1+2m

，+∞）上递减，
∴当x∈(0，-

1+2m

)时，f′（x）=g（x）＞g（0）=1+2m＞0，
故此时f（x）＞f（0）=0，不符合题意．
若m≥0，x≥0时，
f（x）=（x+1）ln（x+1）+m（x²+2x）≥（x+1）ln（x+1）≥0，不符合题意．
综上所述：所求的m的取值范围是m≤-

．

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选修2-2 北师大版解答题高中数学

设f（x）=（x+1）ln（x+1）+m（x2+2x）（m∈R）（1）当m=-1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时，f（x）≤0，求实数m的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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