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  • 已知函数f(x)=12(x+ax)，(x≠0，x∈R)在(1，+∞)上为增函数，函数g（x）=lnx-ax，（x＞0，x∈R）在（1，+∞）上为减函数．（1）求实数a的值；（2）求证：对于任意的x1∈[1，m]（m＞1），总存在x2∈[1，m]，使得g（x2）+f（x1）=0．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      1
      2
      (x+
      a
      x
      )，(x≠0，x∈R)在(1，+∞)上为增函数，函数g（x）=lnx-ax，（x＞0，x∈R）在（1，+∞）上为减函数．
      （1）求实数a的值；
      （2）求证：对于任意的x      1∈[1，m]（m＞1），总存在x2∈[1，m]，使得g（x2）+f（x1）=0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f′(x)=
      1
      2
      (1-
      a
      x2
      )≥0在（1，+∞）上恒成立，
      则a≤x      2在（1，+∞）上恒成立，
      ∴a≤1．…（3分）
      又      g′(x)=
      1
      x
      -a≤0在（1，+∞）上恒成立，
      则a≥
      1
      x
      在（1，+∞）上恒成立．
      ∴a≥1．…（5分）
      从而为a=1…（7分）
      （2）依题意可知，证明对于任意的x      1∈[1，m]（m＞1），
      总存在x      2∈[1，m]，使得g（x2）+f（x1）=0．
      只须证：函数y=-f（x）的值域是函数y=g（x）值域的子集．
      设y=-f（x）的值域为M，y=g（x）的值域为N；
      由（1）可知y=-f（x）=-
      1
      2
      (x+
      1
      x
      )在[1，m]上为减函数，
      g（x）=lnx-x在[1，m]上为减函数
      ∴M=[-
      1
      2
      (m+
      1
      m
      )，-1]，N=[lnm-m，-1]…（10分）
      设?(x)=x-
      1
      x
      -2lnx，(x＞1)
      则∵x＞1，
      ∴?′(x)=1+
      1
      x2
      -
      2
      x
      =
      (x-1)2
      x2
      ＞0，
      ∴y=?（x）在（1，+∞）上为增函数
      ∵m＞1，
      ∴?（m）＞?（1）=0
      ∴2lnm＜m-
      1
      m

      ∴-
      1
      2
      (m+
      1
      m
      )＞lnm-m…（14分）
      ∴M?N，即对于任意的x      1[1，m]（m＞1）
      总存在x      2∈[1，m]，使得g（x2）+f（x1）=0…（15分）
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