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  • 对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在x∈D，使得|f（x）-g（x）|＜1，则f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”．给出定义域均为D=（0，1）的四组函数如下：①f（x）=lnx-1，g（x）=2(x-1)x+1 ②f（x）=x3，g（x）=3x-1③f（x）=ex-2x，g（x）=-x ④f（x）=23x-58，g（x）=√x其中，函数f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”的是 ．试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      对于具有相同定义域D的函数f（x）和g（x），若存在x∈D，使得|f（x）-g（x）|＜1，则f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”．给出定义域均为D=（0，1）的四组函数如下：
      ①f（x）=lnx-1，g（x）=
      2(x-1)
      x+1
      ②f（x）=x3，g（x）=3x-1
      ③f（x）=e      x-2x，g（x）=-x ④f（x）=
      2
      3
      x-
      5
      8
      ，g（x）=
      √x

      其中，函数f（x）和g（x）在D上是“亲密函数”的是                ．

      试题解答

      ②④
      解：①设h（x）=f（x）-g（x）=lnx-1-
      2(x-1)
      x+1
      ，
      ∴h'（x）=
      1
      x
      -
      4
      (x+1)2
      =
      (x-1)2
      x(x+1)2

      ∵0＜x＜1，∴h'（x）＞0，
      即h（x）在（0，1]上单调增，
      ∵h（1）=-1，∴h（x）＜-1，
      ∴对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|＞1，
      ∴函数f（x）和g（x）在D上不存在“亲密函数”；
      ②设h（x）=f（x）-g（x）=x      3-3x+1，
      ∴h′（x）=3x      2-3
      ∵0＜x＜1，
      ∴h′（x）＜0，函数单调递减．
      ∵h（0）=1，h（1）=-1，
      ∴-1＜h（x）＜1，
      即|h（x）|＜1，
      即存在x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1．
      ③设h（x）=f（x）-g（x）=e      x-x，
      ∴h′（x）=e      x-1
      ∵0＜x＜1，∴h′（x）＞0
      ∴h（x）在[0，1]上单调增，
      ∵h（0）=1，h（1）=e-1＞1
      ∴不满足对任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1．
      ④设h（x）=f（x）-g（x）=
      2
      3
      x-
      5
      8
      -
      √x

      当x=0时满足题意，
      当x≠0时，h′（x）=
      2
      3
      -
      1
      2
      √x
      ，
      由h'（x）=0得，x=
      9
      16
      ，
      ∵0＜x＜1，
      ∴当x=
      9
      16
      时，函数取得极小值，
      即h（
      9
      16
      ）=
      2
      3
      ×
      9
      16
      -
      5
      8
      -
      √
      9
      16
      =
      3
      8
      -
      5
      8
      -
      3
      4
      =-1．
      ∴存在x∈D，都有|f（x）-g（x）|＜1，
      ∴函数f（x）和g（x）在D上为“亲密函数”；
      故答案为：②④．
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