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  • 已知函数f（x）=x3+3ax-1，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，求实数a的值；（Ⅱ）设函数g（x）=f'（x）-6，对任意的-1＜x＜1，都有g（x）＜0成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a≤0时，请问：是否存在整数a的值，使方程f（x）=15有且只有一个实根？若存在，求出整数a的值；否则，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x3+3ax-1，a∈R．
      （Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，求实数a的值；
      （Ⅱ）设函数g（x）=f'（x）-6，对任意的-1＜x＜1，都有g（x）＜0成立，求实数a的取值范围；
      （Ⅲ）当a≤0时，请问：是否存在整数a的值，使方程f（x）=15有且只有一个实根？若存在，求出整数a的值；否则，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x2+3a
      ∴f′（1）=3+3a=6
      ∴a=1
      （Ⅱ）∵g（x）=3x      2+3a-6
      ∴g（x）=3x      2+3a-6＜0在（-1，1）上恒成立．
      ∴a＜-x      2+2在（-1，1）上恒成立．
      而-x      2+2＞1在（-1，1）上恒成立．
      ∴a≤1
      （Ⅲ）存在
      理由如下：
      方程f（x）=15有且只有一个实根，
      即为函数y=f（x）的图象与直线y=15有且只有一个公共点．
      由f′（x）=3x      2+3a
      （1）若a=0，则f′（x）≥0，∴f（x）在实数集R上单调递增
      此时，函数y=f（x）的图象与直线y=15有且只有一个公共点．
      （2）若a＜0，则f′(x)=3(x+
      √-a
      )(x-
      √-a
      )
      列表如下：
      x （-∞，-
      √-a
      ）       		-
      √-a
      		（-
      √-a
      ，
      √-a
      ）
      √-a
      		（
      √-a
      ，+∞）
      f′（x） + 0 - 0 +
      f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
      ∴（f（x）极小值-15）?（f（x）极大值-15）＞0，得：[(
      √-a
      )3-8][(
      √-a
      )3+8]＜0
      ∴0＜(
      √-a
      )3＜8，解得-4＜a＜0
      综上所述，-4＜a≤0又a∈Z，
      即 a为-3、-2、-1、0．
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